(滿分：100分考試時間：150分鐘)
專業基礎知識
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分,共30分)
1. 1978年，我國國內生產總值是3 645億元，2007年升至249 530億元。將249 530億元用科學計數表示為()。
A.24.953×1013元B.24.953×1012元
C.2.4953×1013元D.2.4953×1014元
2.右圖中圓與圓之間不同的位置關系有()。
A.2種B.3種
C.4種D.5種
3.王老師為了了解本班學生課業負擔情況，在班中隨機調查了10名學生，他們每人上周平均每天完成家庭作業所用的時間(單位：小時)分別是：1.5，2，2，2，2.5，2.5，2.5，2.5，3，3.5。則這10個數據的平均數和眾數分別是()。
A.2.4，2.5B.2.4，2
C.2.5，2.5D.2.5，2
4.若用半徑為9，圓心角為120°的扇形圍成一個圓錐的側面(接縫忽略不計)，如圖所示，則這個圓錐的底面半徑是()。
A.1.5B.2
C.3D.6
5.已知y1=ax2,y2=ax;且y1、y2有兩個交點，在同一直角坐標系中，兩個函數的圖像有可能是()。
6.已知{an}是等差數列，a1=-9,S3=S7,那么使其前n項和Sn最小的n是()。
A.4B.5
C.6D.7
7.設a、b是滿足ab<0的實數，那么()。
A.|a+b|>|a-b|B.|a+b|<|a-b|
C.|a-b|<|a|-|b|D.|a-b|<|a|+|b|
8.棱長都為2的四面體的四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為()。
A.3πB.4π
C.33πD.6π
9.給定四條曲線：①x2+y2=52，②x29+y24=1，③x2+y24=1，④x24+y2=1，其中與直線x+y-5=0僅有一個交點的曲線是()。
A.①②③B.②③④
C.①②④D.①③④
10.定義函數y=f(x),x∈D，若存在常數C，對任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得f(x1)+f(x2)2=C，則稱函數f(x)在D上的均值為C。已知f(x)=lgx,x∈[10,100]，則函數f(x)=lgx在x∈[10,100]上的均值為()。
A.32B.34
C.710D.10
二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)
11.如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC，且∠A=110°，則∠DBC。
第11題圖
第12題圖
12.一個幾何體的三視圖如圖所示(其中標注的a、b、c為相應的邊長)，則這個幾何體的體積是。
13.不等式1-2xx+1>0的解集是。
14.已知0 15.不論k為何實數，直線y=kx+1與曲線x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交點，則實數a的取值范圍是。
三、解答題(本大題共4小題，共35分)
16. (本小題滿分5分)
如圖是一個幾何體的三視圖。
(1)寫出這個幾何體的名稱;
(2)根據所示數據計算這個幾何體的表面積;
(3)如果一只螞蟻要從這個幾何體中的點B出發，沿表面爬到AC的中點D，請你求出這個線路的最短路程。
17.(本小題滿分12分)
研究所對某種新型產品的產銷情況進行了研究，為投資商在甲、乙兩地生產并銷售該產品提供了如下成果：第一年的年產量為x(噸)時，所需的全部費用y(萬元)與x滿足關系式y=110x2+5x+90，投入市場后當年能全部售出，且在甲、乙兩地每噸的售價p甲、p乙(萬元)均與x滿足一次函數關系。(注：年利潤=年銷售額-全部費用)
(1)成果表明，在甲地生產并銷售x噸時，p甲=-120x+14，請你用含x的代數式表示甲地當年的年銷售額，并求年利潤w甲(萬元)與x之間的函數關系式;
(2)成果表明，在乙地生產并銷售x噸時，p乙=-110x+n(n為常數)，且在乙地當年的最大年利潤為35萬元。試確定n的值;
(3)受資金、生產能力等多種因素的影響，某投資商計劃第一年生產并銷售該產品18噸，根據(1)、(2)中的結果，請你通過計算幫他決策，選擇在甲地還是乙地產銷才能獲得較大的年利潤?
參考公式：拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標是-b2a，4ac-b24a。
18.(本小題滿分8分)
甲、乙兩同學用一副撲克牌中牌面數字分別是3、4、5、6的4張牌做抽數字游戲。游戲規則是：將這4張牌的正面全部朝下，洗勻，從中隨機抽取一張，抽得的數作為十位上的數字，然后，將所抽的牌放回，正面全部朝下，洗勻，再從中隨機抽取一張，抽得的數作為個位上的數字，這樣就得到一個兩位數。若這個兩位數小于45，則甲獲勝，否則乙獲勝。你認為這個游戲公平嗎?請運用概率知識說明理由。
19.(本小題滿分10分)
小明想利用太陽光測量樓高。他帶著皮尺來到一棟樓下，發現對面墻上有這棟樓的影子，針對這種情況，他設計了一種測量方案，具體測量情況如下：
如示意圖，小明邊移動邊觀察，發現站到點E處時，可以使自己落在墻上的影子與這棟樓落在墻上的影子重疊，且高度恰好相同。此時，測得小明落在墻上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m(點A、E、C在同一直線上)。
已知小明的身高EF是1.7m，請你幫小明求出樓高AB(結果精確到0.1m)。
【參考答案】
一、選擇題
1.C 【解析】249 530億元=2.4953×1013元。
2.A 【解析】圓與圓的位置關系有四種：相交、相切、外離、內含。本題圓的位置關系為相交與相切。
3.A 【解析】出現次數最多的是眾數：2.5，平均數可直接計算。
4.C 【解析】120°πR2180°=2πR∴R=3。
5.C 【解析】根據一次函數和二次函數圖像性質逐一排除，可選C。
6.B 【解析】等差數列的前n項和Sn=d2n2+(a1-d2)n可表示為過原點的拋物線，又本題中a1=-9<0,S3=S7,可表示如圖，由圖可知，n=3+72=5是拋物線的對稱軸，所以n=5時,Sn最小，故選B。
7.B 【解析】∵A、B是一對矛盾命題，故必有一真，從而排除錯誤項C、D。又由ab<0，可令a=1、b=-1，代入知B為真，故選B。
8.A 【解析】借助立體幾何的兩個熟知的結論：(1)一個正方體可以內接一個正四面體;(2)若正方體的頂點都在一個球面上，則正方體的對角線就是球的直徑。可以快速算出球的半徑R=32，從而求出球的表面積為3π，故選A。
9.D 【解析】分析選擇項可知，四條曲線中有且只有一條曲線不符合要求，故可考慮找不符合條件的曲線從而篩選，而在四條曲線中②是一個面積最大的橢圓，故可先看②，顯然直線和曲線x29+y24=1是相交的，因為直線上的點(5,0)在橢圓內，對照選項故選D。
10.A 【解析】f(x1)+f(x2)2=lg(x1x2)2=C，從而對任意的x1∈[10,100]，存在唯一的x2∈[10,100]，使得x1、x2為常數。充分利用題中給出的常數10、100。令x1x2=1 000,當x1∈[10,100]時，x2=1 000x1∈[10,100]，由此得C=lg(x1x2)2=32。故選A。
二、填空題
11.35°
【解析】略。
12.abc
【解析】略。
13.x-1 【解析】不等式1-2xx+1>0等價于(1-2x)(x+1)>0，也就是x-12(x+1)<0，所以-1
14.m 【解析】∵loga(1+t)+loga(1-t)=loga(1-t2)，不論a的值如何，loga(1-t2)與loga(1-t)同號，所以m
15.-1≤a≤3
【解析】題設條件等價于點(0，1)在圓內或圓上，或等價于點(0，1)到圓(x-a)2+y2=2a+4的圓心的距離不超過半徑，∴-1≤a≤3。
三、解答題
16.解：(1)圓錐;
(2)表面積：S=S扇形+S圓=πrl+πr2=12π+4π=16π(平方厘米);
(3)如圖將圓錐側面展開，線段BD為所求的最短路程。
由條件得，∠BAB′=120°，C為弧BB′中點，所以BD=33。
17.解：(1)甲地當年的年銷售額為-120x2+14x萬元，
w甲=-320x2+9x-90。
(2)在乙地生產并銷售時，
年利潤w乙=-110x2+nx-110x2+5x+90=-15x2+(n-5)x-90。
由4×-15×(-90)-(n-5)24×-15=35，解得n=15或-5。
經檢驗，n=-5不合題意，舍去，∴n=15。
(3)在乙地生產并銷售時，年利潤w乙=-15x2+10x-90，
將x=18代入上式，得w乙=25.2(萬元);
將x=18代入w甲=-320x2+9x-90，得w甲=23.4(萬元)。
∵w乙>w甲，∴應選乙地。
18.解：這個游戲不公平，游戲所有可能出現的結果如下表：
第二次第一次
3456
333343536
443444546
553545556
663646566
表中共有16種可能結果，小于45的兩位數共有6種。
∴P(甲獲勝)=616=38，P(乙獲勝)=1016=58。
∵38≠58，
∴這個游戲不公平。
19.
解：過點D作DG⊥AB，分別交AB、EF于點G、H，
則EH=AG=CD=1.2
DH=CE=0.8，DG=CA=30
∵EF∥AB
∴FHBG=DHDG
由題意，知FH=EF-EH=1.7-1.2=0.5
∴0.5BG=0.830，解之，得BG=18.75
∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0
∴樓高AB約為20.0m。